Por María Gaspar, Presidenta de la Comisión de Olimpiadas
Real Sociedad Matemática Española
El pasado 18 de julio, se celebraba en Bath (Reino Unido) la entrega de premios de la edición número 60 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas, conocida entre los estudiantes hispanohablantes por sus siglas en inglés “la IMO”. Sesenta años, casi toda una vida; sesenta años en los que la IMO ha servido para detectar y orientar hacia las matemáticas a jóvenes de todo el mundo especialmente dotados para ellas. Buen ejemplo de ello son Terence Tao, Gregory Perelman, Timothy Gowers, Cédric Villani, Arthut Avila o Maryam Mirzakhani, grandes y conocidos matemáticos, ganadores de Medalla Fields que descubrieron su gran talento para las matemáticas a través de su participación en la Olimpiada.
Pero, ¿cómo empezó todo?
Se tienen noticias de la existencia de concursos escolares de matemáticas en 1885 en Bucarest. Pero es la competición Eötvos, aparecida en Hungría en 1894, la que marca la pauta y sirve de modelo a otros concursos no solo matemáticos, sino de ciencias en general. En esta competición se proponían a estudiantes de secundaria tres problemas para resolver en un tiempo máximo de cuatro horas. La naturaleza de los problemas propuestos también marcó la pauta para los que vinieron después: se trata de medir la creatividad de los estudiantes, de desarrollar su autonomía de pensamiento, más que de medir sus conocimientos curriculares.
En 1894 aparece también el primer número de la revista húngara KöMaL (acrónimo, en húngaro, de Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, lo que podría traducirse como Revista de física y matemáticas para estudiantes de Bachillerato). Su fundador fue Daniel Arany, y en ella se publican artículos, problemas y soluciones de estudiantes de secundaria. Con doscientos años de existencia, KöMaL sigue sirviendo a ambos colectivos – estudiantes y profesores – y ha jugado un papel esencial en el desarrollo matemático de un país pequeño, como es Hungría. Aproximadamente en la misma época, aparece en Rumanía el primer número de la revista Gazeta Matematica, que organizaba un concurso anual dirigido también a estudiantes de secundaria. Este concurso fue el germen, posteriormente, de la Olimpiada Internacional de Matemáticas.
Pero estos no eran hechos aislados. Los últimos años del siglo XIX fueron tiempos de desarrollo de solidarias relaciones internacionales. Nacen entonces distintas sociedades científicas nacionales. Los primeros Juegos Olímpicos de la era moderna se celebran en Grecia en 1896, y el primer Congreso Internacional de Matemáticos se celebra en Zurich en 1897.
En 1954, Rumanía invita a participar en su Olimpiada a varios países de su entorno geográfico y cultural. Se celebra así la primera Olimpiada Internacional de Matemáticas, con siete países: Alemania Democrática, Hungría, Checoslovaquia, Unión Soviética, Polonia, Bulgaria y la propia Rumanía; tres de estos ya no existen como tales. Desde entonces, se ha celebrado anualmente en un país diferente, con la única excepción de 1980, en que Mongolia, país encargado de su organización, no cumplió su compromiso.
Enunciados en más de 50 idiomas
Poco a poco fue abriéndose a países ajenos al área del antiguo bloque del este. Fue Finlandia el primero de éstos en participar, en 1965. No tardarían mucho en llegar a la competición Francia, Reino Unido o Italia, en 1967. Estados Unidos se incorpora con fuerza en 1975, organizando a su vez la IMO en 1981. Nuestro país, España, participa por primera vez en 1983, año en que era Francia el país organizador, como lo fuimos nosotros, y con gran éxito, en 2008.
Y este año, en su última edición, los países participantes han sido 112, con un total de 621 concursantes, entre ellos, ¡65 chicas nada más! Una vez más se ha batido un récord, con la incorporación de Angola y República Dominicana.
A pesar del indudable incremento del número total de participantes y a pesar del paso del tiempo, la IMO se mantiene siempre muy fiel a sus usos, tradiciones y costumbres, entre los que destaca el papel del Jurado Internacional, formado por los jefes de delegación de los países participantes. Constituye el único órgano ejecutivo de la olimpiada en los doce días en los que se desarrolla: decide los problemas a proponer, su redacción definitiva, se ocupa de la traducción de los enunciados – ¡más de 50! – a los idiomas de los participantes, decide los criterios de calificación o cómo distribuir los premios, y toma la decisión oportuna en el caso de que surgiera algún imprevisto.
Los problemas son claves
¿Cómo entender una competición individual de matemáticas, realizada en un corto período de tiempo, si no es a través de la resolución de problemas? A diferencia de lo que ocurre con otras olimpiadas científicas, en las olimpiadas de matemáticas no hay ningún programa. ¿Cómo hacer entonces propuestas razonables y equitativas para estudiantes procedentes de culturas y sistemas educativos diferentes, y de distintas edades? Solo hay una pauta: los seis problemas que se les propongan serán de matemática elemental – que no es para nada sinónimo de fácil – originales e inéditos; deben medir intuición y creatividad más que conocimientos y técnicas adquiridas, y sobre todo, deben constituir un reto para los candidatos. Giran alrededor de temas de matemática elemental (geometría, teoría elemental de números, álgebra y combinatoria, así, sin mayor precisión), y resolverlos significa en muchos casos realmente “hacer matemáticas”. A guisa de ejemplo, he aquí el problema 5 de esta última IMO:
El Banco de Bath emite monedas con una H en una cara y una T en la otra. Harry tiene n monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente k > 0 monedad con la H hacia arriba, Harry voltea la k-ésima moneda contando desde la izquierda; en caso contrario todas las monedas tienen la T hacia arriba y Harry se para. Por ejemplo, si n=3 y la configuración inicial es THT, el proceso sería THT – HHT – HTT – TTT, que se detiene después de tres operaciones.
(a) Demostrar que para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el proceso se detiene después de un número finito de operaciones.
(b) Para cualquier configuración inicial C, sea L(C) el número de operaciones que se realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, L(THT)=3 y L(TTT)=0. Determinar el valor promedio de L(C) sobre las 2n posibles configuraciones iniciales de C.
Cada candidato escribe en su idioma materno, y son los profesores de su propio país quiénes corrigen sus trabajos, pero la puntuación se decide de acuerdo con los llamados coordinadores, unos sesenta matemáticos del país organizador, que actúan como jueces con la importante misión de garantizar la equidad en las correcciones, siguiendo criterios de calificación previamente acordados y aprobados por el Jurado Internacional. Los estudiantes solamente pueden hacer preguntas – por escrito – durante la primera media hora. Es el Jurado quien decide colegiadamente si la pregunta debe o no contestarse, y cuál será la respuesta, de modo que todos los participantes reciban la misma información.
En el reglamento de la IMO se establece que se premiará a no más de la mitad de los estudiantes participantes, distribuyendo entre estos las medallas de oro, plata y bronce, en la proporción 1:2:3. Además, se otorgan menciones de honor a quienes, sin recibir medalla, hayan resuelto completamente alguno de los problemas propuestos, recibiendo la puntuación máxima de siete puntos. No hay premios materiales, ni de tipo económico, pero el honor de recibir medalla es la mayor satisfacción para cada estudiante participante. Los premios se entregan en un solemne acto, que sirve además de clausura a la Olimpiada.
La de este año, en Bath, ha sido la mejor participación española en nuestros 37 años de historia olímpica; nunca hasta ahora habíamos conseguido superar, sumando las puntuaciones de los seis miembros del equipo, la barrera de los 100 puntos. Ojalá podamos mantener y superar estos resultados. Nuestros chicos y chicas se lo merecen.
