Raúl Ibáñez, profesor de Geometría y Topología de la UPV.

En 1924, el pintor futurista italiano Giacomo Balla (1871-1958) creó una obra titulada Los números enamorados asociando una cualidad humana, como es el enamoramiento, a los números. También en el ámbito de las matemáticas nos gusta asociar a los números, en particular, a los números naturales, cualidades humanas. Existen números amigos, sociables, novios, narcisistas, felices, tristes, hambrientos, intocables, ambiciosos, afortunados, malvados, odiosos, prácticos o raros, pero también con otras denominaciones curiosas, como números vampiros, parásitos, perniciosos, apocalípticos, perfectos, sublimes, abundantes, escasos o intocables.

Algunas de estas familias de números deben su propiedad definitoria al comportamiento de sus divisores propios, es decir, entre los divisores no se considera al propio número. Así, un número se dice que es perfecto si es igual a la suma de sus divisores, como el 6 = 1 + 2 + 3 o el 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Mientras que los números que no son perfectos pueden ser abundantes, cuando el número es menor que la suma se los divisores, como el 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, o deficientes en el caso contrario, como el 14 > 1 + 2 + 7 = 10 o todos los números primos.

Un número es ambicioso si puede llegar a ser perfecto de la siguiente forma, dado el número se toma la suma de sus divisores, con este nuevo número se vuelve a considerar la suma de sus divisores, y se continúa así, de forma que el número es ambicioso si llega un momento que se alcanza un número perfecto, como en el caso del número 95, cuyos divisores suman 1 + 5 + 19 = 25, y los divisores de este suman 1 + 5 = 6, que es perfecto, aunque el 24 o los números primos no son ambiciosos.

Relacionados con la perfección están los números sublimes, aquellos tales que el número de sus divisores (incluido el propio número) y la suma de los mismos son perfectos, como el 12, que tiene 6 divisores y su suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, aunque solo se conoce otro número sublime más, que es
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264.

Se dice que dos números son amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro. Un ejemplo son los números 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 y 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, que fueron utilizados en la antigüedad para realizar talismanes relacionados con la amistad y el amor, por lo que quizá estos deberían ser llamados números enamorados. Y dos números se consideran novios o casi-amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de sus divisores menos 1, como el 48 = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 – 1 y el 75 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 – 1.

La propiedad de amistad puede generalizarse a un grupo de números, de forma que la suma de los divisores de cada uno es igual al siguiente, y la del último igual al primero, entonces se habla de números sociables. El grupo de números más pequeños que son sociables son 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 y 14.264.

También existen intocables dentro de la familia de los números naturales, son aquellos que no se pueden expresar como suma de los divisores de ningún número. El número 2 es intocable, el 3 no (1 + 2, divisores del 4), el 5 no (1 + 3, divisores del 9) y el 5 sí, ya que solo puede expresarse como 1 + 4, pero si el 4 es divisor del número, también lo es el 2 y la suma sería al menos 7, y el siguiente intocable es el 52.

Y no podían faltar los números raros, que son aquellos que son abundantes, es decir, la suma de los divisores es mayor que el número, pero no se puede obtener el número exacto quitando algunos de los divisores, es decir, como suma de un subconjunto de divisores propios. Por ejemplo, el 12 es abundante, pero como 12 = 2 + 4 + 6, no es raro, y el número raro más pequeño es 70 (cuyos divisores son 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35).

Cerramos este repaso a algunas tribus numéricas con los números poderosos, que son aquellos tales que, si un número primo p es divisor suyo, también lo es su cuadrado p2, como el 36, cuyos divisores primos son 2 y 3, y sus cuadrados también son divisores de 36.

Puede resultar atractivo para los alumnos trabajar en el aula estos grupos de números creando un juego que consista en buscar números pertenecientes a las diferentes familias mencionadas aquí.

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